Números Primos

Qué son los números primos

En las matemáticas, este término es considerado como un dígito natural mayor a 1 que posee solamente dos divisiones positivas distintas, él mismo y el 1. Es importante destacar que el único número primo par es el 2, es por ello que es muy frecuente escuchar que cuando se trata de cualquier número primo mayor que éste se le denomine como número primo impar. Por su parte la primalidad tiene especial importancia, esto se debe a que todos los números pueden ser factorizados como resultados de otros números primos, pero por otro lado se debe señalar que dicha factorización es única.

La primalidad es la propiedad de ser un dígito primo. En álgebra, estos dígitos son conocidos como racionales primos, de forma que se puedan distinguir de los gaussianos primos. Esta primalidad no tiene dependencia del sistema numérico, sin embargo, si depende del anillo donde es estudiada la primalidad. Dos es un primo racional pero cuenta con factores como el entero gaussiano. El estudio de estos dígitos es sumamente importante en la teoría de los dígitos, una de las ramas de las matemáticas que se encarga de estudiar las propiedades aritméticas de los dígitos enteros.

Los dígitos primos han estado presentes en diferentes conjuntos centenarios, entre ellas, la conjetura de Goldbach que fue resuelta por Harald Helfgott y la hipótesis de Riemann. La distribución de estos dígitos es algo reiterativo de la investigación y que forma parte de la teoría de números, de forma que si se consideran dígitos de forma aislada, los primos parecen distribuirse en modo probabilístico, pero su distribución global se ajusta a las leyes que ya se encuentran definidas.

Este término nace del latín numerus, cuyo significado hace alusión a un signo o dígito diferente a las letras, mientras que primo viene del latín primus, que significa primera o de buena calidad. El término también puede enfocarse en otros temas, por ejemplo, el literatura con el libro llamado la soledad de los números primos

Origen de los números primos

Desde la antigüedad los números primos han sido objeto de estudios, eso queda demostrado en trabajos como la conjetura de Goldbach y la hipótesis de Riemann. En el año 1741, el matemático Christian Goldbach se encargó de elaborar una suposición, en la cual estableció que todo número par que fuese mayor a 2 se puede expresar como la adición de dos números primos, por ejemplo 6 = 3+3.

Pero además de esto, estos dígitos tuvieron vigencia en el oriente prehelénico, cuando en las muescas del hueso ishango parecían aislar alrededor de 4 dígitos primos, el 11, 13, 17 y 19. Los arqueólogos interpretan este acontecimiento como la prueba fehaciente de que estos dígitos realmente existían y que debían ser conocidos en todo el mundo. Pero a pesar de esto, no hay incremento en los hallazgos de estos dígitos para conocer realmente cuál era la información matemática que poseían las primeras civilizaciones hace más de 20.000 años.

Por otro lado, están los vestigios de la antigua Grecia, en la cual se encontraron pruebas irrefutables sobre el conocimientos de estos dígitos de hace más de 300 años a. C, todo hallado en los Elementos de Euclides, en sus tomos VII al IX. Euclides logra conceptualizar este término y demuestra que existen infinidades de dígitos, además, le da un concepto al mínimo común múltiplo, al máximo común divisor y genera un método para poder determinarlos, el cual actualmente se conoce como el algoritmo de Euclides.

En los elementos, se encuentra el teorema fundamental de la aritmética y la forma de construir un dígito perfecto a través de un dígito Mersenne. De hecho, se habla de los números primos y compuestos y se plasma una lista de números primos existente para aquella época en conjunto con una tabla de números primos.

Más adelante, en la época del renacimiento, cuando ya se conocían las matemáticas griegas, no se conocieron muchos avances sobre el estudios de estos dígitos sino hasta el siglo XVII. En el año 1640, Pierre Fermant logró establecer sin demostración alguna el teorema de Fermat, pero años más tarde, se demostró por Euler y Leibniz. Se cree que en China ya se conocía de este teorema, pero no hay pruebas contundente que puedan dar fe de ese hecho.

Fermat alegó que los dígitos con forma de 22 + 1 eran primos, de hecho, estos se conocen como dígitos de Fermat y logró verificar las propiedades hasta N= 4, esto quiere decir 216 + 1. El problema es que el dígito de Fermat 232 + 1 es un dígito compuesto (formando parte de los números no primos), pues uno de sus elementos primos es 641 y eso fue demostrado por Euler. Actualmente no hay conocimiento de ningún dígito de Fermat que sea primo, además de los ya conocidos por el mismo estudioso. Realmente es una forma de hablar de números primos y compuestos en una misma definición.

Más adelante, el Francés Marin Mersenne investigó cada dígito primo con forma de 2p – 1 con P primo y actualmente, estos son conocidos como números Mersenne en su honor.

Características de los números primos

Dentro de las características de estos dígitos, está el hecho de ser infinitos, es decir, que por más grande que uno de ellos, siempre existirá uno mayor.

1. Si un dígito P no divide de forma correcta a otro A, entonces P y A son primos entre sí mismos y cuando esto ocurre, el divisor común que tienen es el 1.
2. No se necesita que A sea primo absoluto para que esto pueda suceder, ejemplo, cuando el 5 es primo y el 12 no lo sea, ambos son dígitos primos entre sí, pues ambos tienen al 1 como divisor común.
3. Cuando un dígito O divide a una potencia del dígito N, también divide a N.
4. Todos los dígitos relacionados a este tema son impares, con la única excepción del 2, por esto su último número es 1, 3, 7 o 9 y no se incluye al 5 porque no es una cifra final de otro dígito primo, incluso cada dígito que termina en 5 termina siendo un múltiplo de esto y no forman parte de los primos.
5. Si P es un divisor y primo del producto de dos números A y B, entonces P es el encargado de dividir a uno de ellos, por ejemplo, cuando el primo es 3 y divide al producto 9 x 11 = 99, pues el 3 es divisor del 9. Acá también se puede aplicar la descomposición de números primos.

Ejemplos de números primos

No solo basta con colocar una tabla de números primos, pues existen múltiples dígitos con esta índole, pero el primer dígito primo a partir del mil es 1009, luego de diez mil, viene el 10.007 y a partir de cien mil se denota el 100.003. Luego de llegar al millón, está el 1.000.003.

Números primos del 1 al 1000

Esto va más allá de los números primos del 1 al 200 se trata de los primeros números primos, como se muestra en la siguiente tabla: