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Expresiones Algebraicas

Se conoce como expresiones algebraicas a la combinación de letras, signos y números en la operaciones matemática. Por lo general las letras representan cantidades desconocidas y son llamadas variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir a las expresiones del lenguaje matemático del lenguaje habitual. Las expresiones algebraicas surgen de la obligación de traducir valores desconocidos a números, que como lo señalamos antes, están representados por letras. La rama de las matemáticas responsable del estudio de estas expresiones en las que aparecen números y letras, así como signos de operaciones matemáticas, es Álgebra.

expresiones algebraicas

Qué son las expresiones algebraicas

Como se mencionó con anterioridad, dichas operaciones no son más que la combinación de letras, números y signos que, posteriormente, se emplean en diferentes operaciones de tipo matemático. En las expresiones algebraicas, las letras tienen el comportamiento de los números y cuando estas toman ese curso, se emplean entre una y dos letras. Sin importar expresión que se tenga, lo primero que se tiene que hacer es simplificar, esto se logra utilizando las propiedades de la o las operaciones, mismas que son equivalentes a las propiedades numéricas. Para encontrar el valor numérico de una operación algebraica, se debe sustituir la letra por un número determinado.

Se pueden realizar muchos ejercicios sobre estas expresiones y se harán en este apartado para mejorar el entendimiento del tema en cuestión. Expresiones algebraicas ejemplos:

  • (X + 5/X + 2) + (4X + 5/X + 2)
    X + 5 + 4X + 5/ X + 2
    5X + 10/X + 2
    5(X + 2)/X + 2
    5
  • (3/X + 1) – (1/X + 2)
    3(X+2) – X – 1/(X + 1)*(X + 2)
    2X – 5/X^2 + 3X + 2

Lenguaje algebraico

El álgebra es la parte de la matemática que estudia la relación entre números, letras y signos. Por lo tanto, el lenguaje algebraico es aquel que emplea símbolos y letras para representar números. Dicho lenguaje, surgió en la civilización musulmana en el período de AL-Khwarizimi durante la Edad Media. Su función principal es establecer y estructurar un lenguaje que ayude a generalizar las diferentes operaciones que tienen lugar dentro de la aritmética donde solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (+ -x%).

Esta clase de lenguaje fue introducida por primera vez por el matemático francés François Vieth, quien es considerado el padre del álgebra expresada en palabras. El lenguaje algebraico tiene como finalidad, establecer y diseñar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética, donde sólo se emplean los números y sus operaciones matemáticas básicas: suma (+), resta (-), multiplicación (x) y división (/).

El idioma algebraico se caracteriza por su precisión, ya que es mucho más concreto que el lenguaje numérico. A través de él se pueden expresar enunciados de manera breve. Ejemplo: el conjunto de los múltiplos de 3 es (3, 6, 9, 12…) se expresa 3n en donde n = (1, 2, 3, 4…).

Permite expresar números desconocidos y realizar operaciones matemáticas con ellos. Ejemplo: la suma de dos números se expresa así: a+b. Admite la expresión de relaciones y propiedades numéricas de carácter general. Ejemplo: la propiedad conmutativa se expresa así: a x b = b x a. Al escribir utilizando este lenguaje se puede manipular cantidades desconocidas con símbolos sencillos de escribir, permitiendo la simplificación de teoremas, formulación de ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

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Por otra parte, una algebraica es aquella que representa a un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas y se encuentra constituida por coeficientes, exponentes y base. Ejemplo: 7×4. En donde 7 es el coeficiente, x es la base y 4 es el exponente numérico. El coeficiente representa la cantidad numérica o letra que se ubica a la izquierda de la base, indicando la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar, dependiendo del signo que tenga. Ejemplo: 7×4 = x4+x4+x4+x4+x4+x4+x4

El exponente numérico es la cantidad que se ubica arriba a la derecha de la base, indicando el número de veces que la base se toma como producto. Ejemplo: 2×3 = 2 (x) (x) (x). El valor numérico de una operación algebraica, es aquel número que se origina, luego de sustituir las letras por números, para continuar, las operaciones que se indican.

Signos y símbolos algebraicos

En álgebra, se emplean tanto símbolos como signos en la teoría de conjuntos y estos constituyen o representan ecuaciones, series, matrices, etc. Las letras son expresadas o denominadas como variables, pues se usa la misma letra en otros problemas y, su valor encuentra diferentes variables. Entre algunas de las expresiones algebraicas clasificación se encuentran:

Expresión
Uso
C ó K.
Son utilizadas en los términos constantes.
A, B, C.
Son utilizadas para darle expresión a las cantidades más conocidas en el álgebra.
X, Y, Z.
Son empleadas para expresar las incógnitas en las operaciones matemáticas.
N.
Le da expresión a cualquier número.
>
Mayor que.
<
Menor que.
Mayor o igual.
Menor o igual.
=
Igual – igualdad.
No es igual a
Sí, solo sí.

Fracciones algebraicas

Se conoce como una fracción algebraica aquella que está representada por el cociente de dos polinomios que muestran un comportamiento similar a las fracciones numéricas. En matemáticas, podemos operar con dichas fracciones realizando multiplicaciones y divisiones. Por lo tanto, debemos expresar que la fracción algebraica está representada por el cociente de dos expresiones algebraicas donde el numerador es el dividendo y el denominador el divisor.

Entre las propiedades de las fracciones algebraicas podemos resaltar que si el denominador se divide o multiplica por la misma cantidad diferente de cero, la fracción no se verá alterada.

La simplificación de una fracción algebraica consiste en transformarla en una fracción que ya no se puede reducir, siendo necesario factorizar los polinomios que componen el numerador y el denominador.

Podemos clasificar dichas fracciones en los siguientes tipos: equivalente, simple, correcto, impropio, compuesto de numerador o denominador nulo. Entonces veremos cada uno de ellos.

Equivalentes

Cuando el producto cruzado sea el mismo, es decir cuando el rasultado de las fracciones es igual. Por ejemplo, de estas dos fracciones algebraicas: 2/5 y 4/10 seran equivalentes si 2*10 = 5*4

Simple

Son aquellas en las que el numerador y el denominador representan expresiones racionales enteras.

Propias

Son fracciones simples en las que el numerador es menor que el denominador.

Impropias

Son fracciones simples en las cuales el numerador es igual o mayor que el denominador.

Compuestas

Son las formadas por una o más fracciones que se pueden ubicar en el numerador, el denominador o ambos.

Numerador o denominador nulo

Se presenta cuando el valor sea 0. En el caso de tener una fracción 0/0 será indeterminado.

Al usar las fracciones algebraicas para realizar operaciones matemáticas, debemos tener en consideración algunas características de las operaciones con fracciones numéricas, como por ejemplo, para iniciar se debe encontrar el mínimo común múltiplo cuando los denominadores son de dígitos diferentes. Tanto en la división como en la multiplicación, las operaciones se realizan y se llevan a cabo igual que con las fracciones numéricas, ya que estas deben simplificarse previamente siempre y cuando le sea posible.

Polinomios

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Cuando hablamos de polinomio nos referimos a una operación algebraica de sumas, restas y multiplicaciones ordenadas hechas de variables, constantes y exponentes. En álgebra, un polinomio puede tener más de una variable (x, y, z), constantes (enteros o fracciones) y exponentes (que solo pueden ser números enteros positivos). Los polinomios están formados por términos finitos. Cada término es una expresión que contiene uno o más de los tres elementos con los que están hechos: variables, constantes o exponentes. Por ejemplo: 9, 9x, 9xy son todos términos. Otra forma de identificar los términos es que están separados por sumas y restas.

Para resolver, simplificar, sumar o restar polinomios, hay que juntar los términos con las mismas variables que, por ejemplo, los términos con x, los términos con “ y” y los términos que no tienen variables. Además, es importante observar el signo que está antes del término que determinará si agrega, resta o multiplica. Los términos con las mismas variables se agrupan, agregan o restan.

Tipos de polinomios

El número de términos que tiene un polinomio indicará qué tipo de polinomio es, por ejemplo, si hay un polinomio de un solo término, entonces se está frente a un monomio. Un claro ejemplo de esto es unos de los polinomios ejercicios (8xy).

También está el polinomio de dos términos, el cual es denominado binomial y se identifica por el siguiente ejemplo: 8xy – 2y.

Por último, el polinomio de tres términos, los cuales se conocen como trinomios y se identifica por uno de los polinomios ejercicios de 8xy – 2y + 4. Los trinomios son un tipo de expresión algebraica formada por la suma o la diferencia de tres términos o monomios (monomios semejantes)

También es importante hablar del grado de polinomio, pues si es de una sola variable es el mayor exponente. El grado de un polinomio con más de una variable se determina mediante el término con el mayor exponente. También es importante hablar del polinomio de Taylor, un teorema publicado en la década del siglo XVIII por Brook Taylor, un matemático nativo de Gran Bretaña, sin embargo, no fue descubierto sino hasta finales del siglo pasado por James Gregory, un matemático y astrónomo de Escocia.

Su uso en el estudio de una función, se pueden encontrar aproximaciones polinomiales en un entorno en el que se diferencian, además, se aprovechan las estimaciones de errores.

Suma y Resta de polinomios

La suma de polinomios implica combinar términos. Los términos similares se refiere a los monomios que tienen la misma variable, o variables elevadas a la misma potencia.

Existen diferentes maneras de realizar calculos con polinomios, por ejemplo, la suma de polinomios se puede hacer de dos maneras diferentes: horizontal y verticalmente.

  • La suma de polinomios en horizontal, es empleada para hacer operaciones horizontalmente, valga la redundancia, pero primero se escribe un polinomio y luego se sigue en la misma línea. Posterior a ello, se escribe el otro polinomio que se va a sumar o restar y finalmente, se agrupan los términos similares.
  • La suma de polinomios vertical, por su parte, se logra escribiendo el primer polinomio de manera ordenada. Si este se encuentra incompleto, es importante dejar los huecos de los términos faltantes libres. Luego, se escribe el polinomio siguiente justo debajo del anterior, de esta manera, el término similar al de arriba va a quedar debajo. Finalmente se agrega cada columna.

Es importante agregar que para sumar dos polinomios, los coeficientes de los términos del mismo grado se deben sumar. El resultado de agregar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado.

Si falta algún término de cualquiera de los grados, se puede completar con 0. Y generalmente se ordenan de mayor a menor grado.

Como se mencionó anteriormente, para realizar la suma de dos polinomios, solo se necesita sumar los términos de mismo un grado. Las propiedades de esa operación se conforman por:

  • Propiedades asociativas, en las cuales la suma de dos polinomios se resuelve agregando los coeficientes que acompañan a las x que se elevan a la misma potencia.
  • Propiedad conmutativa, la cual altera el orden de la suma y no se logra deducir el resultado. Los elementos neutrales, los cuales tienen todos sus coeficientes igual a 0. Cuando se agrega un polinomio al elemento neutro, el resultado es igual al primero.
  • Por último, la propiedad opuesta. formada por el polinomio que tiene todos los coeficientes inversos a los coeficientes del polinomio agregado. así, al realizar la operación de suma, el resultado es el polinomio nulo.

Con respecto a la resta de polinomios, (operaciones con polinomios) resulta imperativo hacer la agrupación de monomios de acuerdo a las características que poseen y comenzar con la simplificación de los que resultaron semejantes. La operación se realiza sumando el opuesto del sustraendo al minuendo.

Otra manera eficaz de proceder con la resta polinomios, es escribir el opuesto de cada polinomio debajo del otro. Así, los monomios semejantes quedan en columnas y se procede a sumarlos. No importa cuál técnica se lleve a cabo, al final, el resultado siempre será el mismo, claro, si se realiza correctamente.

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de monomios o ejercicios entre polinomios y monomios, es una operación que se lleva a cabo para encontrar el producto resultante, entre un monomio (expresión algebraica basada en la multiplicación de un número y una carta elevada a un exponente entero y positivo) y otra expresión, si este es un término independiente, otro monomio o incluso un polinomio (suma finita de monomios y términos independientes). Sin embargo, como ocurre con casi todas las operaciones matemáticas, la multiplicación de polinomios también tiene una serie de pasos que se deben seguir al resolver la operación propuesta, que se puede resumir en los siguientes procedimientos:

  • El primer paso a seguir al multiplicar un monomio por otra expresión, es multiplicar los signos de cada término.
  • Luego, los valores de los coeficientes se multiplican y, al valor encontrado en esta multiplicación, se le atribuye el literal encontrado en los monomios o los literales que se encuentren entre los términos.
  • Se anotan en orden alfabético.
  • Para finalizar, se agregan los exponentes que se encuentran ubicados en los literales de su misma base. El resultado, se anota con un exponente del resultado correspondiente.

División de polinomios

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También conocido como el método de Ruffini. Nos permite dividir un polinomio entre un binomio y además permite localizar las raíces de un polinomio para factorizarlo en binomios. En otras palabras esta técnica posibilita dividir o descomponer un polinomio algebraico de grado n, en un binomio algebraico, y luego en otro polinomio algebraico de grado n-1. Y para que esto sea posible se necesita saber o conocer por lo menos una de las raíces del polinomio único, con el propósito de que la separación sea exacta.

Es una técnica eficaz para dividir un polinomio por un binomio de la forma x – r. La regla de Ruffini es un caso especial de la división sintética cuando el divisor es un factor lineal.

El método de Ruffini fue descrito por el matemático, profesor y médico italiano Paolo Ruffini en el año de 1804, quien además de inventar el famoso método denominado regla de Ruffini, que ayuda a encontrar los coeficientes del resultado de la fragmentación de un polinomio por el binomio; también descubrió y formuló esta técnica sobre el cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones.

Como siempre, cuando se trata de una operación algebraica, la Regla de Ruffini implica una serie de pasos que deben cumplirse para llegar al resultado deseado, en este caso: encontrar el cociente y el resto inherentes en la división de cualquier tipo de polinomio y un binomio de forma x + r.

En primer lugar, al momento de dar inicio con la operación, hay que revisar las expresiones para verificar o determinar si realmente se tratan como polinomios y binomios que responden a la forma esperada por el método de la Regla de Ruffini.

Una vez que se verifiquen estos pasos, se procede a ordenar el polinomio (en orden descendente). Finalizado este paso, se toma en cuenta únicamente a los coeficientes de los términos del polinomio (hasta el independiente) colocándolos en fila de izquierda a derecha. Se dejan algunos espacios para los términos que hagan falta (solo en caso de un polinomio incompleto). Se coloca el signo de galera en la izquierda de la fila, la cual está conformada por coeficientes del polinomio de dividendos.

En la parte izquierda de la galera, se procede a colocar el término independiente del binomio, que, ahora, es divisor y su signo es inverso. El independiente se multiplica por el primer coeficiente del polinomio, registrándose así en una segunda fila debajo del primero. Luego se resta el segundo coeficiente y el producto del término independiente monomial por el primer coeficiente.

El término independiente del binomio es multiplicado por el resultado de la resta anterior. Pero además, se coloca en la segunda fila, la cual le corresponde al cuarto coeficiente. La operación se repite hasta llegar a todos los términos. La tercera fila que se ha obtenido en base a estas multiplicaciones se toma como un cociente, con la excepción de su último término, que se considerará como el resto de la división. El resultado se expresa, acompañando cada coeficiente de la variable y el grado que le corresponde, comenzando a expresarlos con un grado menor que el que tenían originalmente.

1. Teorema del resto

Es un método práctico que se usa para dividir un polinomio P (x) por otro cuya forma es xa; en el que solo se obtiene el valor del resto. Para aplicar esta regla, se siguen los siguientes pasos. Se escribe el dividendo polinomial sin completar u ordenar, luego se reemplaza la variable x del dividendo con el valor opuesto del término independiente del divisor. Y, finalmente, las operaciones se resuelven combinadas.

El teorema del resto es un método por el cual podemos obtener el residuo de una división algebraica pero en la cual no es necesario hacer ninguna división.

Esto nos permite averiguar el resto de la división de un polinomio p (x) entre otro de la forma x-a, por ejemplo. De este teorema se desprende que un polinomio p (x) es divisible por x-a solo si a es una raíz del polinomio, solo si y sólo si p (a) = 0. Si C (x) es el cociente y R (x) es el resto de la división de cualquier polinomio p (x) entre un binomio que sería (x-a) el valor numérico de p (x), para x = a, es igual al resto de su división entre x-a. Entonces diremos que: nP (a) = C (a) • (a – a) + R (a) = R (a)

En general, para obtener el resto de una división entre X-a, es más conveniente aplicar la regla de Ruffini que reemplazar la x. Por lo tanto, el teorema del resto es el método más adecuado para resolver problemas.

Raíces de polinomios

Las raíces de un polinomio son ciertos números que hacen que un polinomio valga cero. También podemos decir que las raíces completas de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del término independiente. Cuando resolvemos un polinomio igual a cero, obtenemos las raíces del polinomio como soluciones.

Como propiedades de las raíces y los factores de los polinomios podemos decir que los ceros o raíces de un polinomio están por los divisores del término independiente que pertenece al polinomio.

Luego, para cada raíz, por ejemplo, del tipo x = a corresponde a un binomio del tipo (x-a). Es posible expresar un polinomio en factores si lo expresamos como un producto de todos los binomios del tipo (x-a) que corresponden a las raíces, x = a, que resultan. Se debe tener en cuenta que la suma de los exponentes de los binomios es igual al grado del polinomio, también se debe tomar en cuenta que cualquier polinomio que no tenga un término independiente admitirá como raíz x = 0, en otra forma, admitirá como un factor x.

Llamaremos a un polinomio «primo» o «Irreducible» cuando no hay posibilidad de descomponerlo en factores.

Para profundizar en el tema debemos tener claro el teorema fundamental del álgebra, que expresa que basta que un polinomio en una variable no constante y coeficientes complejos, posee tantas raíces como su grado, ya que las raíces tienen sus multiplicidades. Se confirma con esto que cualquier ecuación algebraica de grado n posee n soluciones complejas. Un polinomio de grado n tiene un máximo de n raíces reales.

Las raíces complejas de un polinomio de coeficientes reales se presentan continuamente en pares, un polinomio de grado impar que tiene una raíz real mínimamente. También debemos tener en cuenta que un polinomio puede no tener raíces reales. Un polinomio que tiene raíces reales y distintas es uno de los casos más simples que podemos encontrar.

En caso de que los coeficientes del polinomio sean complejos, las raíces complejas no estarán necesariamente relacionadas. Los polinomios pueden tener raíces complejas y sus respectivos conjugados. Por ejemplo, un polinomio: tiene una raíz compleja y su correspondiente conjugado. Para calcular una raíz compleja se debe definir su parte real, ya que la parte imaginaria, menor que cero, se alcanza de su módulo y de su parte real.

Sabemos que un número «a», por ejemplo, es la raíz de un polinomio P (x) si P (a) = 0. Para el teorema restante, si «a» es la raíz del polinomio P (x), dirá que P (x) es divisible por x – a, ya que el resto de la división de P (x) por x es cero. En general, estos valores se llaman x1, x2, x3, etc.

Este teorema se aplica para verificar cuál de los valores da como cero reposo. El método de Ruffini también sirve para encontrar las raíces de un polinomio y así proceder a factorizar los binomios de la forma (x – a) siendo «a» un entero.

Ejemplos y ejercicios

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En este apartado, además de agregar ejercicios sobre todas las operaciones matemáticas mencionadas a lo largo del post, se hará una mención especial sobre ejemplos de multiplicación de un monomio ya sea por un término independiente (producto de monomios) o por otro monomio.

En el primer caso, en álgebra elemental, se dice que el valor del término independiente debe ser multiplicado por el coeficiente del monomio, de esta manera, se logra obtener un producto, mismo que se le atribuye el monomio literal integralmente. Ejemplo: 3. 4xy2 = 12xy2

Cuando la multiplicación de monomio es por otro monomio (producto de monomio), es posible que ambos términos involucrados en la multiplicación, sean identificados como monomios. En ese caso particular, tal como están indicadas previamente en las fuentes teóricas, se deben multiplicar los signos, más el valor de los coeficientes que tengan cabida en los términos. El producto que se obtenga, debe registrarse como un resultado y, posterior a ello, se le asignan los laterales que se observen en los términos de la multiplicación, para luego sumar los exponentes de los que resultan de la misma base. Ejemplo: 3×3 4×2 = (3.4) x3 + 2 = 12×5

Explicado esto se procede entonces a mostrar una serie de ejercicios resueltos relacionados con expresiones algebraicas, sumas de polinomios, resta de polinomios, monomios ejercicios, entre otros.

1. Expresiones algebraicas ejercicios:

  • X^2 – 9/2X + 6
    (X + 3) * (X – 3)/2 * (X + 3)
    X – 3/2
  • X^2 + 2X + 1/X^2 – 1
    (X + 1)^2/(X + 1) * (X – 1)
    X + 1/X – 1

2. Suma de polinomios

  • 2x+3x+5x= (2+3+5) x= 10 x
  • P(x)= 2×2+5x-6
    Q(x)= 3×2-6x+3
    P(x)+Q(x)= (2×2+5x-6)+ (3×2-6x+3)= (2×2+3×2) + (5x-6x) + (-6+3) = 5×2-x-3

3. Resta de polinomios

P(x)= 2×2+5x-6
Q(x)= 3×2-6x+3
P(x)-Q(x)= (2×2+5x-6)-(3×2-6x+3)= (2×2+5x-6) + (-3×2+6x-3)=(2×2-3×2) + (5x+6x) + (-6-3)= -x2+11x-9

4. División de polinomios

  • 8 a / 2 a = (8/2).(a/a)= 4
  • 15 ay /3a = (15/3) (a.y)/ a = 5 y
  • 12 bxy / -2 bxy = (12/-2) (b.x.y)/(bxy.) = -6
  • -6 v2.c. x/-3vc= (-6/-3) (v2.c. x) /(v. c) = 2 v

5. de expresiones algebraicas (binomio al cuadrado)

  • (x + 3)2 = x 2 + 2 • x •3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
  • (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 • 2x • 3 + 32 = 4×2 − 12 x + 9
  • 6. Teorema de resto

    (x4 − 3×2 + 2):(x − 3)
    R=P(3) = 34 − 3 • 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

    Preguntas Frecuentes sobre Expresiones Algebraicas

    ¿Qué son las expresiones algebraicas?

    Se trata de un conjunto de letras, símbolos y números empleados en operaciones matemáticas.

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    ¿Cuáles son las operaciones que se realizan con polinomios?

    Se suman, restan, multiplican y se dividen los polinomios. Se pueden emplear diferentes técnicas.

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    ¿Qué es el valor numérico de las expresiones algebraicas?

    Es el resultado obtenido luego de sustituir las variables de la expresión por los valores para completar las operaciones.

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    ¿Cómo se resuelve el cuadrado de un binomio?

    Es igual al cuadrado del primer término, sumando el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

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    ¿Cómo identificar un monomio y un polinomio?

    En el monomio solo existe una variable, en cambio los polinomios tienen entre dos y más variables.

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    Bibliografía

    Pérez, Mariana. ( Última edición:9 de febrero del 2020). Definición de Expresiones Algebraicas. Recuperado de: https://conceptodefinicion.de/expresiones-algebraicas/. Consultado el 20 de febrero del 2020