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Álgebra

El álgebra es una rama de la matemática que emplea números, letras y signos para hacer referencia a las distintas operaciones aritméticas que se realizan. En la actualidad el álgebra como recurso matemático se usa en las relaciones, estructuras y cantidad. El álgebra elemental es el más común ya que es el que emplea operaciones aritméticas como la suma, resta, multiplicación y división ya que a diferencia de la aritmética, ésta se vale de símbolos como x y siendo los más comunes en lugar de usar números.

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Qué es el álgebra

Es la rama que pertenece a la matemática, la cual permite desarrollar y resolver problemas aritméticos a través de letras, símbolos y números, que a su vez simbolizan objetos, sujetos o grupos de elementos. Esta permite formular operaciones que contienen números desconocidos, llamados incógnitas y que hace posible el desarrollo de ecuaciones.

A través del álgebra, el hombre ha podido contabilizar de forma abstracta y genérica, pero también más avanzada, a través de cálculos más complejos, desarrollados por intelectuales matemáticos y físicos tales como sir Isaac Newton (1643-1727), Leonhard Euler (1707-1783), Pierre de Fermat (1607-1665) o Carl Friedrich Gauss (1777-1855), gracias a cuyos aportes se tiene la definición de álgebra como se conoce hoy en día.

Sin embargo, según la historia del álgebra, Diofanto de Alejandría (fecha de nacimiento y muerte desconocidos, se cree que vivió entre los siglos III y IV), fue realmente el padre de esta rama, ya que publicó una obra llamada Arithmetica, la cual constaba de trece libros y en los que exponía problemas con ecuaciones que, aunque no correspondían a un carácter teórico, eran adecuados para soluciones generales. Esto ayudó a definir qué es el álgebra, y entre muchos de los aportes que realizó, fue la implementación de los símbolos universales para la representación de una incógnita dentro de las variables del problema a resolver.

El origen de la palabra “álgebra”, proviene del árabe y significa “restauración” o “reconocimiento”. De igual forma tiene su significado en el latín, que corresponde a “reducción”, y, aunque no son términos idénticos, significan lo mismo.

Como herramienta adicional para el estudio de esta rama, se puede contar con la calculadora algebraica, que son calculadoras que pueden graficar las funciones algebraicas. Permitiendo de esta manera integrar, derivar, simplificar expresiones y graficar las funciones, realizar matrices, resolver ecuaciones, entre otras funciones, aunque esta herramienta es más acorde para un nivel superior.

Dentro del álgebra se encuentra el término algebraico, que es el producto de un factor numérico de al menos una variable de letra; en el que cada término pueden diferenciarse su coeficiente numérico, sus variables representadas por letras y el grado del término al sumar los exponentes de los elementos literales. Esto quiere decir, que para el término algebraico p5qr2, el coeficiente será 1, su parte literal será p5qr2, y su grado será 5+1+2=8.

Qué es una expresión algebraica

Es una expresión conformada por constantes enteras, variables y operaciones algebraicas. Una expresión algebraica está constituida por signos o símbolos y se compone de otros elementos específicos.

En el álgebra elemental, así como en la aritmética, las operaciones algebraicas que se utilizan para la solución de los problemas, son: la adición o suma, la sustracción o resta, la multiplicación, la división, la potenciación (multiplicación de un factor varias veces) y la radicación (operación inversa de la potenciación).

Los signos utilizados en dichas operaciones son los mismos de la aritmética para la suma (+) y la resta (-), pero para la multiplicación se sustituye la equis (x) por un punto (.) o pueden representarse con signos de agrupación (ejemplo: c.d y (c)(d) equivalen al elemento “c” multiplicado por el elemento “d” o cxd) y en la división algebraica se utilizan dos puntos (:).

También se utilizan signos de agrupación, como los paréntesis (), los corchetes [], las llaves {} y las rayas horizontales. Se usan también los signos de relación, que son aquellos que se utilizan para indicar que existe una correlación entre dos datos y entre los más usados se tienen el de igual a (=), mayor que (>) y menor que (<).

También, se caracterizan por utilizar números reales (racionales, que incluyen los positivos, negativos y el cero; y los irracionales, que son aquellos que no pueden representarse como fracciones) o complejos, que son parte de los reales, formando un cuerpo algebraicamente cerrado.

Estas son las principales expresiones algebraicas

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Existen expresiones que forman parte del concepto de qué es el álgebra, dichas expresiones se clasifican en dos tipos: los monomios, que son los que tienen un único sumando; y los polinomios, que tiene dos (binomios), tres (trinomios) o más sumandos.

Algunos ejemplos de monomios serían: 3x, π

Mientras que algunos polinomios pueden ser: 4×2+2x(binomio); 7ab+3a3(trinomio)

Es importante mencionar que si la variable (en este caso “x”) se encuentra en el denominador o dentro de una raíz, las expresiones no serían ni monomios ni polinomios.

Qué es el álgebra lineal

Esta área de la matemática y del álgebra, es la que estudia los conceptos de vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales y las matrices. Como se puede observar, tiene diversas aplicaciones el álgebra lineal.

Su utilidad varía desde el estudio del espacio de las funciones, que son aquellas que se definen por un conjunto X (horizontal) a un conjunto Y (vertical) y se aplican para espacios vectoriales o topológicos; las ecuaciones diferenciales, las cuales relacionan a una función (valor que depende del segundo valor) con sus derivadas (razón de cambio instantánea que hace variar el valor de una función determinada); la investigación de operaciones, que aplica métodos analíticos avanzados para tomar decisiones acertadas; hasta la ingeniería.

Uno de los ejes principales del estudio del álgebra lineal se encuentra en los espacios vectoriales, que son conformados por un conjunto de vectores (segmentos de una recta) y un conjunto de escalares (números reales, constantes o complejos, que poseen magnitud pero no la característica vectorial de dirección).

Los principales espacios vectoriales de dimensión finita, son tres:

  • Los vectores en Rn, que representan coordenadas cartesianas (eje horizontal X y eje vertical Y).
  • Las matrices, que son sistemas rectangulares de expresiones (representadas por números o símbolos), se caracterizan por una cantidad de filas (usualmente representada por la letra “m”) y una cantidad de columnas (representada por la letra “n”), y se usan en ciencias y la ingeniería.
  • El espacio vectorial de polinomios en una misma variable, dado por polinomios que no superan el grado 2, poseen coeficientes reales y se encuentran sobre la variable “x”.

Funciones algebraicas

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Se refiere a una función que corresponde a una expresión algebraica, mientras que también satisface una ecuación polinómica (sus coeficientes pueden ser monomios o polinomios). Se clasifican en: racional, irracional y de valor absoluto.

  • Las funciones racionales enteras, son aquellas expresadas en: , donde “P” y “Q” representan dos polinomios y “x” la variable, en donde “Q” es distinto al polinomio nulo, y la variable “x” no anule al denominador.
  • Las funciones irracionales, en las que la expresión f(x) representa a un radical, de esta manera: . Si el valor de “n” es par, el radical será definido para que g(x) sea mayor e igual a 0, y además debe indicarse el signo del resultado, ya que sin éste, no podría hablarse de una función, dado que para cada valor de “x” se tendrían dos resultados; mientras que si el índice del radical es impar, no resulta necesario esto último, pues el resultado sería único.
  • Las funciones de valor absoluto, donde el valor absoluto de un número real será su valor numérico dejando a un lado su signo. Por ejemplo, 5 vendrá siendo el valor absoluto tanto de 5 como de -5.

Existen las funciones algebraicas explícitas, en las que su variable “y” será el resultado de la combinación de la variable “x” una cantidad limitada de veces, usando las operaciones algebraicas (por ejemplo, la suma algebraica), las que incluyen la elevación a potencias y la extracción de raíces; esto se traduciría a que y=f(x). Un ejemplo de este tipo de función algebraica podría ser la siguiente: y=3x+2 o lo que sería lo mismo: (x)=3x+2, ya que “y” está expresada solamente en términos de “x”.

Por otro lado, se encuentran las implícitas, que son aquellas en las que la variable “y” no se expresa solamente en función de la variable “x”, por lo que y≠f(x). Como ejemplo de este tipo de función, se tiene: y=5x3y-2

Ejemplos de funciones algebraicas

Existen al menos 30 tipos de funciones algebraicas, pero entre las más destacadas, se tienen los siguientes ejemplos:

1. Función explícita: ƒ()=sen

2. Función implícita: yx=9×3+x-5

3. Función polinómica:

a) Constante: ƒ ()=6

b) Primer grado o lineal: ƒ ()=3+4

c) Segundo grado o cuadrática: ƒ()= 2+2+1 ó (+1)2

d) Tercer grado o cúbica: ƒ()=2 3+4 2+3 +9

4. Función racional: ƒ

5. Función potencial: ƒ()=-1

6. Función radical: ƒ()=

7. Función por secciones: ƒ()=si 0 ≤ ≤ 5

Qué es el álgebra de Baldor

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Cuando se habla de qué es el álgebra de Baldor, se refiere a una obra desarrollada por el matemático, profesor, escritor y abogado Aurelio Baldor (1906-1978), la cual fue publicada en el año 1941. En la publicación del profesor, quien nació en La Habana, Cuba, se reseñan 5.790 ejercicios equivalentes a un promedio de 19 ejercicios por prueba.

Baldor publicó otras obras, tales como “Geometría plana y del espacio”, “Trigonometría de Baldor” y “Aritmética de Baldor”, pero la que más ha tenido impacto en el ámbito de esta rama ha sido el “Álgebra de Baldor”.

Este material, sin embargo, es más recomendado para el nivel educativo medio (como el de secundaria), ya que para niveles superiores (universitario) apenas serviría como complemento para otros textos más avanzados y acordes a dicho nivel.

La famosa portada en la que aparece el matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán Al-Juarismi (780-846), ha representado confusión entre los estudiantes que se han servido de esta famosa herramienta matemática, ya que se piensa que este personaje se trata de su autor Baldor.

El contenido de la obra se encuentra dividido en 39 capítulos y un apéndice, el cual contiene tablas de cálculos, cuadro de formas básicas de descomposición de factores y tablas de raíces y potencias; y al final del texto se encuentran las respuestas de los ejercicios.

Al inicio de cada capítulo se encuentra una ilustración que refleja una reseña histórica sobre el concepto que se desarrollará y explicará a continuación, y menciona a personajes históricos destacados en el campo, de acuerdo al contexto histórico en el que se ubique la referencia del concepto. Estos personajes van desde Pitágoras, Arquímedes, Platón, Diofanto, Hipatia y Euclides, hasta René Descartes, Isaac Newton, Leonardo Euler, Blas Pascal, Pierre-Simon Laplace, Johann Carl Friedrich Gauss, Max Planck y Albert Einstein.

¿A qué se debió la fama de este libro?

Su éxito radica en que es, además de una famosa obra literaria obligatoria en las secundarias de Latinoamérica, el libro más consultado y completo sobre la materia, por contener una explicación clara sobre los conceptos y sus ecuaciones algebraicas, así como datos históricos sobre los aspectos a estudiar, en el que se maneja el lenguaje algebraico.

Este libro es la iniciación por excelencia para los estudiantes dentro del mundo algebraico, aun cuando para algunos representa una fuente de estudios de inspiración y para otros sea temido,lo cierto es que es una bibliografía obligatoria e ideal para la mejor comprensión de los temas abarcados.

Qué es el álgebra booleana

El matemático inglés George Boole (1815-1864), creó un grupo de leyes y reglas para realizar operaciones algebraicas, al punto de que se le dio su nombre a una parte de ella. Por ello, el matemático y lógico inglés, es considerado como uno de los precursores de las ciencias de la computación.

En los problemas lógicos y filosóficos, las leyes que Boole desarrolló permitieron simplificarlos en dos estados, que son el estado verdadero o el estado falso, y a dichas conclusiones se llegaban mediante una vía matemática. Algunos sistemas de control implementados, tales como contactores y relés usan componentes abiertos y cerrados, siendo el abierto el que conduce y el cerrado el que no lo hace. A esto se conoce como todo o nada en lo que es el álgebra booleana.

Tales estados tienen una representación numérica 1 y 0, donde el 1 representa lo verdadero y el 0 a lo falso, lo que hace más fácil su estudio. De acuerdo a todo esto, cualquier componente de todo tipo o nada puede ser representado por una variable lógica, lo cual significa que ésta podrá presentar el valor 1 o 0, a dichas representaciones se les conoce como código binario.

El álgebra booleana permite simplificar los circuitos lógicos o de conmutación lógica dentro de la electrónica digital; también a través de ella, se pueden realizar cálculos y operaciones lógicas de los circuitos de una forma más expresa.

En el álgebra booleana existen tres procedimientos fundamentales, que son: el producto lógico, la puerta AND o función intersección; la suma lógica, puerta OR o función unión; y la negación lógica, puerta NOT o función complemento. También existen varias funciones auxiliares: negación del producto lógico, puerta NAND; negación de la suma lógica, puerta NOR; suma lógica exclusiva, puerta XOR; y negación de la suma lógica exclusiva, puerta XNOR.

Dentro del álgebra de Boole, existen una cantidad de leyes, entre las que se tienen:

  • Ley de anulación. También llamada ley cancelativa, dice que en algún ejercicio luego de un proceso, se anulará el término independiente, de manera que (A.B)+A=A y (A+B).A=A.
  • Ley de identidad. O de identidad de los elementos 0 y 1, establece que una variable a la que se le sume el elemento nulo o 0, será igual a la misma variable A+0=A de la misma forma que si la variable es multiplicada por 1, el resultado será el mismo A.1=A.
  • Ley idempotente. Establece que puede realizarse una acción determinada varias veces y obtener el mismo resultado, de modo que, si se tiene una conjunción A+A=A y si se tiene una disyunción A.A=A.
  • Ley conmutativa. Esta se refiere a que no importa el orden en el que las variables se encuentren, por lo que A+B=B+A.
  • Ley de doble negación. O de involución, establece que si a una negación se le da otra negación, resultará un positivo, de modo que (A’)’=A.
  • Teorema de Morgan. Estas dicen que la suma de alguna cantidad de variables negadas en general, será igual al producto de cada variable negada independientemente, entonces (A+B)’=A’.B’ y (A.B)’=A’+B’.
  • Ley distributiva. Establece que cuando se juntan algunas variables, las cuales se multiplicarán por otra variable externa, será igual que multiplicar cada variable agrupada por la variable externa, a modo de: A(B+C)=AB+AC.
  • Ley de absorción. Esta dice que si una variable A implica una variable B, entonces la variable A implicará A y B, y A será “absorbida” por B.
  • Ley asociativa. En la disyunción o al juntar varias variables, el resultado será el mismo no importando su agrupamiento; de manera que en la adición A+(B+C)=(A+B)+C (el primer elemento más la asociación de los dos últimos, es igual a la asociación de los dos primeros más el último).


Bibliografía

Pérez, Mariana. ( Última edición:7 de febrero del 2020). Definición de Álgebra. Recuperado de: //conceptodefinicion.de/algebra/. Consultado el 8 de julio del 2020