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Ecuaciones de Segundo Grado

La ecuación de segundo grado también denominada ecuación cuadrática, es una fórmula matemática igualada a cero y que depende de una variable. Es representada por tres términos, uno con la variable elevada a la dos (Ecuaciones de Segundo Grado 4), denominada cuadrático, otro con la variable con exponente uno (X) denominado lineal y un término independiente sin variable. Para resolver ecuaciones de segundo grado se aplica la resolvente, por medio de la cual se obtienen dos valores denominados raíces.

Ecuaciones de segundo grado

Qué son las ecuaciones de segundo grado

Son operaciones matemáticas integradas por elementos denominados términos sumadas algebraicamente e igualada a cero. Cada término se compone de un coeficiente y la variable con los grados exponenciales 0, 1 y 2. El término con la variable elevada a la potencia cero se denomina término independiente (por no depender de la variable), mientras que el coeficiente del término cuadrático nunca puede ser cero.

Su resolución se obtiene a partir de la aplicación de la fórmula resolvente, generando dos posibles valores para la variable que se denominan raíces, las cuales pueden ser reales o imaginarias.

Estas ecuaciones pueden ser representadas por medio de un polinomio cuadrático y pueden ser interpretadas mediante una gráfica en forma de parábola.

Al ser una palabra compuesta por dos términos, las ecuaciones cuadráticas tienen dos significados:

Por una parte, el término ecuación se deriva del latín aequatío, cuyo significado es nivelación o repartición de algo en partes iguales.

En cuanto al segundo término, las ecuaciones algebraicas fueron denominadas cuadráticas porque la variable es elevada al cuadrado y no a una potencia mayor. La etimología de esta segunda palabra también está relacionada con el despeje de la incógnita: para resolverlas es necesario aplicar la raíz cuadrada para hallar los valores de la variable.

Características de las ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de Segundo Grado - Características de las ecuaciones de segundo grado

Aunque existen diferentes tipos de ecuaciones, las características principales de la fórmula de las ecuaciones de segundo grado son las siguientes:

  • Es un polinomio cuadrático.
  • Se compone de tres términos sumados algebraicamente.
  • Se representa igualando la suma algebraica de los términos a cero.
  • Cada término se compone de un coeficiente y la variable con potencias 0, 1 y 2.
  • El coeficiente del término cuadrático nunca puede ser igual a cero.
  • Se puede factorizar en un producto notable.
  • Cuando alguno de los coeficientes de los términos no cuadráticos es igual a cero, se considera incompleta.
  • Su solución se obtiene a través de la aplicación de la ecuación resolvente.
  • Su solución consta de dos valores posibles que puede tomar la variable, se denominan raíces y pueden ser tanto reales como imaginarias.
  • Esta ecuación representa gráficamente una parábola. Si el coeficiente del término cuadrático es negativo, la parábola asociada a la ecuación será cóncava, de lo contrario será convexa.
  • Si la ecuación se factoriza en un producto notable, los parámetros corresponden con las coordenadas del vértice de la parábola asociada.
  • Cuando las raíces son iguales, la coordenada en Y del vértice de la parábola es cero.
  • Cuando la parábola no corta al eje de las X‘s se dice que no tiene raíces reales o solución.

Ecuación de Segundo Grado - Parábola con vértice en el origen

Para elaborar un problema de ecuaciones de segundo grado se recomienda que las raíces de la solución sean reales, pudiendo ser enteras o racionales. Si el objetivo es graficar la ecuación, no se pueden tener como resultado raíces imaginarias (raíces cuadradas de números negativos) y es inconveniente tener raíces irracionales.

Para ello resulta útil crear la ecuación a partir de un producto notable. Donde se escogen cualquier número entero. Ejemplo:


Ecuaciones de Segundo Grado 5

Ecuaciones de Segundo Grado 6

Fórmula de las ecuaciones de segundo grado

Su representación general viene dada con la fórmula:

Ecuaciones de Segundo Grado 7

Donde a, b y c son los coeficientes que multiplican a las variables y las incógnitas son las equis.

Por otra parte, la resolución de las ecuaciones de segundo grado se obtiene a través de la aplicación de la resolvente:

Ecuaciones de Segundo Grado 8

Donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática.

El termino b² – 4ac dentro de la raíz se denomina determinante, se representa con la letra griega delta Δ y a través del valor que toma se puede deducir el resultado de la ecuación.

Si Δ > 0 la ecuación tiene dos raíces reales, es decir, dos soluciones.
Si Δ = 0 la ecuación tiene una sola raíz, es decir, una solución.
Si Δ < 0 la ecuación tiene raíces imaginarias, es decir, no tiene solución.

Clasificación

Ecuación de Segundo Grado - Clasificación

Ellas pueden ser clasificadas en dos tipos: ecuaciones de segundo grado completas y ecuaciones de segundo grado incompletas.

Completas

Son aquellas en las que ninguno de sus términos tiene coeficiente cero, es decir, tienen un término de segundo grado (elevado al cuadrado), un término lineal (es decir, «en x») y un término independiente, es decir, un número sin x. Un ejemplo de una ecuación de este tipo es la siguiente, ejemplo:

Dada la siguiente ecuación

Ecuaciones de Segundo Grado 9

Donde a = 3, b = 4 y c = 1, y X2 y X las incógnitas.

Luego de identificados los coeficientes que acompañan a las incógnitas, se aplica la fórmula general para obtener las raíces, denominada resolvente. Es importante destacar que la aplicación de esta fórmula siempre arroja dos resultados dado el símbolo ±. Al sustituir las letras por los números, la resolvente quedaría de la siguiente manera:

Fórmula de la resolvente:

Ecuaciones de Segundo Grado 10

Se sustituyen los valores de los coeficientes:

Ecuaciones de Segundo Grado 11

Se resuelve lo que está dentro de la raíz cuadrada.

Ecuaciones de Segundo Grado 12

Se separa la ecuación en dos, uno con el signo positivo y otra con el signo negativo.

Ecuaciones de Segundo Grado 13

Ecuaciones de Segundo Grado 14

Un error recurrente durante la sustitución de las letras, es que se obvia el signo que acompaña a cada uno de los coeficientes, cambiando con ello los resultados de las incógnitas. Por ello, es importante incluir el símbolo positivo o negativo.

Incompletas

Son aquellas en las que al menos uno de los términos no cuadráticos tiene coeficiente cero. A diferencia de las ecuaciones completas, las incompletas se subdividen en dos tipos de ecuaciones: por una parte, están las que carecen del término lineal y las que carecen del término independiente.

En función de ello, se ejemplifican cada uno de los tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

Ecuación de segundo grado incompleta sin el término lineal:

Ecuaciones de Segundo Grado 15

Ejemplo:

Ecuaciones de Segundo Grado 16

Ecuaciones de Segundo Grado 17

Ecuaciones de Segundo Grado 18

Ecuaciones de Segundo Grado 19

En este caso, al ser despejada la incógnita y al aplicar raíz cuadrada, el valor de la incógnita no puede ser hallado debido a que no existe la raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, se concluye el ejercicio indicando que el número es imaginario.

Aunque en este caso, esta ecuación sólo posee dos coeficientes, a saber: a = +3 y c = +2, se sustituye la variable restante por un cero, resultando, b=0.

Ecuación de segundo grado incompleta sin el término independiente:

Ecuaciones de Segundo Grado 20

Ejemplo:

Ecuaciones de Segundo Grado 21

Donde a=1; b=2; c=0

Ecuaciones de Segundo Grado 10

Ecuaciones de Segundo Grado 23

Ecuaciones de Segundo Grado 24

Ecuaciones de Segundo Grado 25

Resolución de las ecuaciones de segundo grado

Ecuación de Segundo Grado - Resolución de las ecuaciones de segundo grado

Para ilustrar lo indicado anteriormente, se realizan algunos ejemplos de ecuaciones de segundo grado de manera tal que se identifique la forma de resolver.

Lo primero, es identificar esta ecuación en particular con la incógnita, que generalmente es representada con la letra equis y es elevada al cuadrado (x2). Posteriormente, se utiliza una fórmula denominada resolvente, que facilita la resolución de ecuación de segundo grado, en la cual se obtendrán siempre dos valores:

Ecuaciones de Segundo Grado 10

Usando el ejemplo anterior sobre problemas de ecuaciones de segundo grado, podemos sustituir los números en la fórmula para hallar los dos valores de X, donde:

Ecuaciones de Segundo Grado 9

Donde a=3, b= -4, c=+1

Ecuaciones de Segundo Grado 28

Ecuaciones de Segundo Grado 29

Ecuaciones de Segundo Grado 30

  • Ejemplo 1: Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son -1 y 7/8. Graficar y determinar las coordenadas “x” y “x” del vértice.
    • Paso 1: se realiza un producto notable con las raíces y se iguala a cero (0). Para crear se cambia el signo:
      (x+1)(x-7/8)=0
    • Paso 2: se desarrollar el producto notable
      Ecuaciones de Segundo Grado 31

      Ecuaciones de Segundo Grado 32
    • Paso 3: Para hallar la coordenada “x” del vértice se aplica la siguiente fórmula
      Ecuaciones de Segundo Grado 33

      Ecuaciones de Segundo Grado 34
    • Paso 4: Para hallar la coordenada “y” del vértice se sustituye la coordenada “x” en la ecuación cuadrática
      Ecuaciones de Segundo Grado 35

      Ecuaciones de Segundo Grado 36
    • Paso 5: Para la gráfica, escoger una escala con la que se visualicen los datos

      Ecuaciones de Segundo Grado - Gráfica ejercicio

  • Determinar la ecuación cuadrática de la parábola cuyo vértice se encuentra en el punto (4,20) y una de sus raíces es -2.
    • Paso 1: Para hallar las raíces se hace uso de la ecuación para determinar la coordenada x del vértice.
      Ecuaciones de Segundo Grado 33

      Donde Vx = 4
      Ecuaciones de Segundo Grado 38

      Se despeja ra
      Ecuaciones de Segundo Grado 39

      Ecuaciones de Segundo Grado 40
    • Paso 2: Ya determinadas ambas raíces, se crea un producto notable. Se cambia el signo.
      Ecuaciones de Segundo Grado 41

      Se desarrolla el producto notable
      Ecuaciones de Segundo Grado 42

      Ecuaciones de Segundo Grado 43
  • Se requiere calcular los lados del triángulo que se muestra en la figura. Se debe tomar en cuenta que el triángulo es rectángulo y la hipotenusa tiene como valor 10 u.
    Ecuaciones de Segundo Grado 44

    • Paso 1: se aplica el teorema de Pitágoras para crear a ecuación cuadrática
      Ecuaciones de Segundo Grado 45

      Ecuaciones de Segundo Grado 46

      Ecuaciones de Segundo Grado 47

      Ecuaciones de Segundo Grado 48
    • Paso 2: se aplica la ecuación resolvente
      Ecuaciones de Segundo Grado 10

      Ecuaciones de Segundo Grado 50

      Ecuaciones de Segundo Grado 51

      Ecuaciones de Segundo Grado 52
    • Paso 3: se escoge la raíz positiva dado que se está hablando de una medida de longitud y no puede ser negativa
      Ecuaciones de Segundo Grado 53

    10 ejercicios con ecuaciones de segundo grado

    A continuación, se presentan ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado.

    • Ejemplo 1:
      Ecuaciones de Segundo Grado 54

      Se deduce que es una ecuación completa, cuyos coeficientes son: a = +2, b = 9 y c = +10. Se sustituyen en la ecuación resolvente.

      Ecuaciones de Segundo Grado 55

      Se resuelve el interior de la raíz cuadrada.

      Ecuaciones de Segundo Grado 56

      Se separa la ecuación en dos. Uno con el signo + y otra con el signo –

      Ecuaciones de Segundo Grado 57

      Ecuaciones de Segundo Grado 58
    • Ecuaciones de Segundo Grado 59

    • Ejemplo 2:
      Ecuaciones de Segundo Grado 60

      Ecuaciones de Segundo Grado 61

      Ecuaciones de Segundo Grado 62

      Ecuaciones de Segundo Grado 63
    • Ecuaciones de Segundo Grado 59

    • Ejemplo 3:
      Ecuaciones de Segundo Grado 65

      Ecuaciones de Segundo Grado 66

      Ecuaciones de Segundo Grado 67

      Ecuaciones de Segundo Grado 68
    • Ecuaciones de Segundo Grado 59

    • Ejemplo 4:
      Ecuaciones de Segundo Grado 65

      Ecuaciones de Segundo Grado 71

      Ecuaciones de Segundo Grado 72

      Ecuaciones de Segundo Grado 73
    • Ecuaciones de Segundo Grado 59

    • Ejemplo 5:
      Ecuaciones de Segundo Grado 75

      Ecuaciones de Segundo Grado 76

      Ecuaciones de Segundo Grado 77

      Ecuaciones de Segundo Grado 78
    • Ecuaciones de Segundo Grado 59

    • Ejemplo 6:
      Ecuaciones de Segundo Grado 80

      Ecuaciones de Segundo Grado 81

      Ecuaciones de Segundo Grado 82

      Ecuaciones de Segundo Grado 83
    • Ecuaciones de Segundo Grado 59

    • Ejemplo 7:
      Ecuaciones de Segundo Grado 85

      Ecuaciones de Segundo Grado 86

      Ecuaciones de Segundo Grado 87

      Ecuaciones de Segundo Grado 88
    • Ecuaciones de Segundo Grado 59

    • Ejemplo 8:
      Ecuaciones de Segundo Grado 90

      Ecuaciones de Segundo Grado 91

      Ecuaciones de Segundo Grado 92
    • Ecuaciones de Segundo Grado 59

    • Ejemplo 9:
      Ecuaciones de Segundo Grado 94

      Ecuaciones de Segundo Grado 95

      Ecuaciones de Segundo Grado 96

      Ecuaciones de Segundo Grado 97

      Ecuaciones de Segundo Grado 98

      Ecuaciones de Segundo Grado 99
    • Ecuaciones de Segundo Grado 59

    • Ejemplo 10:
      Ecuaciones de Segundo Grado 101

      Ecuaciones de Segundo Grado 102

      Ecuaciones de Segundo Grado 103

      Ecuaciones de Segundo Grado 104

      Ecuaciones de Segundo Grado 105

    Preguntas Frecuentes sobre Ecuaciones de Segundo Grado

    ¿Qué es una ecuación de segundo grado?

    Es una suma algebraica igualada a cero y compuesta por tres términos: una incógnita elevada al cuadrado, una incógnita elevada al uno y un término independiente.
    2X²+9X+10=0 Leer más

    ¿Cómo hacer ecuaciones de segundo grado?

    Se puede crear a través de un polinomio de segundo grado con o sin término lineal e independiente. El polinomio debe ser igualado a cero.
    También se puede generar a través de un producto notable, a través del cálculo integral de una ecuación lineal y por medio de la multiplicación de una ecuación lineal por su variable.
    Se recomienda el uso de un producto notable donde escojan números enteros para tener la certeza de obtener raíces reales. Leer más

    ¿Cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado?

    1. Verificar que tenga un término cuadrático e identificar qué tipo de ecuación es (completa o incompleta).
    2. En caso de que sea completa, identificar las letras a, b y c; donde a, es la variable que acompaña a la incógnita al cuadrado, b es la variable que acompaña la incógnita con exponente a la 1 y c es la variable independiente.
      aX²+bX+c=0
    3. Aplicar la siguiente fórmula y sustituir los valores que acompañan a las incógnitas
      Ecuaciones de Segundo Grado 10
    4. Despejar la equis. Al hacerlo, se generarán dos resultados debido a que la fórmula tiene un símbolo de ±. El valor que genere la raíz cuadrada se resta y luego se suma por separado.
    5. En caso de que sea incompleta, existen varias formas de hallar el valor de la incógnita: o se aplica la resolvente y se sustituye el término faltante por un cero, o se aplica un procedimiento distinto

    Leer más

    ¿Cómo enseñar ecuaciones de segundo grado?

    Es necesario haber enseñado previamente las siguientes operaciones matemáticas:

    • Calcular la raíz cuadrada.
    • Hallar el producto notable.
    • Identificar el factor común.
    • Realizar la factorización.

    Una vez aprendidas, es necesario identificar qué tipo de ecuación es, y aplicar los diferentes métodos de resolución, según el tipo de ecuación cuadrática, salvo que existan casos especiales.
    Leer más

    ¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado incompletas?

    Existen dos tipos de ecuaciones incompletas: las que no poseen el término lineal y las que no poseen el término independiente.
    CASO 1:aX²+c =0
    CASO 2:aX²+bX=0
    En cualquier caso, se debe aplicar la fórmula de la resolvente Ecuaciones de Segundo Grado 10 y sustituir los coeficientes faltantes por ceros. Leer más

Bibliografía

Materano, Eli. ( Última edición:10 de junio del 2022). Definición de Ecuaciones de Segundo Grado. Recuperado de: https://conceptodefinicion.de/ecuaciones-de-segundo-grado/. Consultado el 2 de noviembre del 2022