Ecuaciones de Primer Grado

Qué son las ecuaciones de primer grado

También son conocidas como ecuaciones lineales, constan de una expresión matemática que se resuelven por medio de operaciones de tipo aritméticas con el fin de conocer el valor de la incógnita, así mismo se puede tratar de ecuaciones de primer grado con una incógnita o ecuaciones de primer grado con dos incógnitas e incluso ecuaciones de primer grado con fracciones.

Desde el punto de vista etimológico la palabra ecuación proviene del latín “aequatio” que significa igualación.

Características de las ecuaciones de primer grado

Las principales características que diferencia una ecuación de primer grado o ecuaciones lineales del resto son básicamente los elementos que la conforman y sus propiedades.

Los elementos que se pueden observar son los siguientes:

• Los miembros constituyen las partes que conforman la ecuación y que están separadas entre sí por el signo “=”.
• Los términos que se refieren a los sumandos que forman parte de los miembros.
• La incógnita que constituye la variable a la cual se le pretende dar valor.

Por otra parte, en cuanto a las propiedades se observa un conjunto de cuatro características o normas, que deben ser respetadas para la correcta resolución de problemas de ecuaciones de primer grado y son:

• En primer lugar, al realizar una operación de suma o resta en alguna de las partes de los miembros, la igualdad se mantiene intacta.
• De igual manera al multiplicar o dividir por un número diferente de cero en ambos lados de la igualdad, esta continúa manteniéndose.
• Como propiedad número tres se establece que, al elevar ambos miembros de la igualdad a una potencia distinta de cero, dicha igualdad aún se mantiene.
• Por último, en relación a las raíces, cuando se extrae la misma raíz en ambos lados, la igualdad se mantiene.

En cuanto a la creación de una ecuación de primer grado lo primero que debemos tener en cuenta es que consta de dos miembros o partes separadas por un signo “=”, en el caso de las ecuaciones lineales se deben cumplir ciertas normas: las variables no pueden ser multiplicadas, ni divididas entre sí y todas las variables deben estar elevadas a uno.

Resolución de ecuaciones de primer grado

A continuación se presentan una serie de ejemplos de ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado con diferentes características y niveles de complejidad.

• Ecuaciones de primer grado con una incógnita

En estos casos el objetivo, que es despejar la variable, es sencilla, solo se deben pasar de un lado al otro de la igualdad los términos para agruparlos, para esto se debe seguir una regla específica y es que al pasar el término de un lado al otro su signo debe cambiar por el contrario, esto ocurre, porque se debe aplicar la operación que elimine a ese término a ambos lados de la ecuación, a fin de mantener la igualdad de la misma. Un ejemplo de ecuaciones de primer grado con una incógnita sería:

• Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

En el caso particular de este tipo de ecuaciones se pueden realizar por tres métodos diferentes que son sustitución, igualación y reducción. Sin embargo, el más utilizado es el primero.

En principio son necesarias dos ecuaciones con dos variables cada una, por lo general representadas por “x” y “y”, lo que se debe hacer es despejar una de las variables en cualquiera de las dos ecuaciones y ese resultado será sustituido en la variable de la otra ecuación, lo cual nos ayudará a despejar y resolver la segunda variable, este resultado será utilizado para sustituir dicho valor obtenido en la primera ecuación despejada y obtener así la resolución de ambas variables en las dos ecuaciones.
2x + 3y = 0 y x – y = 4

Método de sustitución

• Ecuaciones de primer grado con fracciones

En ecuaciones con fracciones en primer lugar se debe conseguir eliminar las variables desconocidas del denominador y una vez que esto se logre se resuelve como una ecuación normal. Para eliminarlos en primer lugar se determina el mínimo común múltiplo de los denominadores y posteriormente se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo m.c.m.

20 ejercicios de ecuaciones de primer grado

A continuación, se presentan varios problemas de ecuaciones de primer grado, resueltos que a su vez sirven como ejemplos de ecuaciones de primer grado.

• 5x+4=1-x
  5x+4=1-x
  5x+x=1-4
  6x=-3
  x=-3/6=-1/2
  x=-1/2
• 3.(x-5)=6
  3.(x-5)=6
  3x-15=6
  3x=6+15
  3x=21
  x=21/3=7
  x=7
• 4.(2x+1)=x+4
  4.(2x+1)=x+4
  8x+4=x+4
  8x-x=4-4 7
  x=0
  x=0/7=0
  x=0
• 3-x=3.(x+5)
  3-x=3.(x+5)
  3-x=3x+15
  -x-3x=15-3
  -4x=12
  x=12/-4=-3
  x=-3
• x + 16 = 41
  x = 41 – 16
  x = 25
• 9x – 45 + 4x – 16 = 4
  9x + 4x = 45 + 16 + 4
  13x = 65
  x = 5
• 
• 6x – 7 + x – 25 = 2 – 8x – 4
  6x + x + 8x = 2 – 4 + 7 + 25
  15x = 30
  x = 2
• 3 · (x – 2) + 9 = 0
  3x – 6 + 9 = 0
  3x = 6 – 9
  3x = -3
  x = -1
• 4x + 7 – 2x + 5 = 2x + 6 – (x – 30)
  4x + 7 – 2x + 5 = 2x + 6 – x + 30
  4x – 2x – 2x + x = –7 – 5 + 6 + 30
  x = 24
• 5x + 4 = 1 – x
  5x + 4 = 1 – x
  5x + x = 1 – 4
  6x = -3
  x =-3/6 = -1/2
  x = – 1/2
• 4 · (3x – 2) – (x + 3) = 4
  12x – 8 – x – 3 = 8
  4x – x = 4 + 8 + 3
  3x = 15
  x = 5
• 2 · (13 + x) = 41 + x
  26 + 2x = 41 + x
  2x – x = 41 – 26
  x = 15
• 4 · (x – 3) – 3 · (4x – 5) = 17 – 8x
  4x – 12 – 10x + 15 = 17 – 8x
  4x – 10x + 8x = 17 + 12 – 15
  2x = 14
  x = 7
• 4x – 3 · (1 – 3x) = –3
  4x – 3 + 9x = –3
  4x + 9x = –3 + 3
  13x = 0
  x = 0
• 2 · (2x) – 6 · (3x – 5) = 12x – 180
  4x – 18x + 30 = 16x – 180
  4x – 18x –16x = –180 – 30
  –30x = –210
  x = 7
• 6 – x = 4 · (x – 3) – 7 · (x – 4)
  6 – x = 4x – 12 – 7x + 28
  –x – 4x + 7x = –12 + 28 – 6
  2x = 10
  x = 5
• 6 · (2x – 6) – [(x – (3x – 4) + 2) – 1] = 2 – (3 – 4x)
  12x – 36 – [x – 3x + 4 + 2 – 1] = 2 – 3 + 4x
  12x – 36 – x + 3x – 4 – 2 + 1 = 2 – 3 + 4x
  12x – x + 3x – 4x = 2 – 3 + 36 + 4 + 2 – 1
  10x = 40
  x = 4
• 5x – 3 = 42
  5x – 3 = 42 + 3
  5x = 45
  5x = 45
  x = 9
• 10x – 10 – 2x = 6x + 30
  (10 x – 2x) – 10 = 6x + 30
  8x – 10 = 6x + 30
  8x = 6 x + 30 + 10
  8x = 6 x + 40
  8x – 6x = 40
  2x = 40
  x = 20
• 4 · (x + 1) – 2 · (x + 3) = x – 9
  4x + 4 – 2x – 6 = x – 9
  4x – 2x – x = – 9 – 4 + 6
  x = 11